Cara Mencari Determinan dan Invers Matriks | Matematika Kelas 11

Cara Mencari Determinan Matriks

Well, kita mulai dari cara mencari determinan matriks terlebih dahulu, ya. Kenapa? Soalnya, untuk mencari invers suatu matriks, kita perlu mencari determinan matriksnya lebih dulu. Teman-teman ada yang udah tau apa itu determinan matriks?

Determinan adalah nilai yang dapat dihitung dari unsur-unsur suatu matriks persegi. Maksudnya matriks persegi tuh yang kayak gimana sih? Matriks persegi adalah matriks yang memiliki jumlah baris dan kolom yang sama, sehingga kalau kita gambarkan bentuk matriksnya, akan membentuk bangun layaknya persegi.

“Jadi, kalau jumlah baris dan kolomnya nggak sama, kita nggak bisa mencari determinannya?”

Jawabannya udah pasti,

yes

(sumber: giphy.com)

Gimana, paham ya sampai sini? Oke, kita lanjut, ya. Misalnya, terdapat suatu matriks yang kita beri nama matriks A. Determinan matriks A bisa ditulis dengan tanda det (A), det A, atau |A|. Nah, cara mencari determinan suatu matriks juga berbeda-beda, tergantung dari ordonya. Kita bahas satu-satu, ya…

 

a. Determinan Matriks Ordo 2×2

Misalkan,determinanadalah matriks berordo 2×2. Elemen a dan d terletak pada diagonal utama, sedangkan elemen b dan c terletak pada diagonal kedua. Determinan matriks A dapat diperoleh dengan mengurangkan hasil kali elemen-elemen diagonal utama dengan hasil kali elemen-elemen diagonal kedua.

 

Nah, supaya kamu nggak bingung, coba kita perhatikan contoh soal di bawah ini.

Contoh soal

Tentukanlah determinan matriks berikut!

determinan

Pembahasan:

determinan

Teman-teman, mudah kan ternyata. Hm, kira-kira, mencari determinan matriks berordo 3×3 mudah juga nggak ya? Yuk, kita cari tau!

 

b. Determinan Matriks Ordo 3×3

Misalkan,determinanadalah matriks berordo 3×3. Terdapat dua cara yang bisa dilakukan untuk mencari determinannya, yaitu menggunakan aturan Sarrus dan metode minor-kofaktor.

 

Hmm… Kamu pasti bingung ya maksud rumus di atas. Tenang aja, di bawah ini udah ada contoh soal dan pembahasannya kok. Jadi, bisa kamu pahami dengan baik. Tapi, jangan cuma dibaca aja ya. Supaya kamu lebih mudah paham, coba deh ikutan corat-coret di kertas. Yuk, siapkan pulpen dan kertasnya!

 

Contoh soal determinan matriks

Tentukan determinan matriks berikut ini menggunakan aturan Sarrus dan metode minor-kofaktor!

Pembahasan:

  • Aturan Sarrus

Agar lebih mudah, kita tulis kembali elemen-elemen pada kolom ke-1 dan ke-2 di sebelah kanan matriks A sebagai berikut:

determinan

Kemudian, kita tarik garis putus-putus seperti gambar di atas. Kalikan elemen-elemen yang terkena garis putus-putus tersebut. Hasil kali elemen yang terkena garis putus-putus berwarna biru diberi tanda positif (+), sedangkan hasil kali elemen yang terkena garis putus-putus berwarna oranye diberi tanda negatif (-). Ingat urutan penulisannya juga, ya!

Sepintas terlihat cukup rumit ya. Tapi, kalau kamu sering berlatih soal, pasti akan hafal dengan sendirinya. Jadi, jangan malas untuk berlatih soal, ya! Sekarang, kita coba kerjakan menggunakan metode yang satunya lagi kuy!

  • Metode Minor-Kofaktor

Berdasarkan rumus minor-kofaktor di atas, determinan matriks A dapat dicari dengan menghitung jumlah seluruh hasil kali antara kofaktor matriks bagian dari matriks A dengan elemen-elemen pada salah satu baris atau kolom matriks A. Jadi, pertama, kita pilih salah satu baris atau kolom matriks A untuk mendapatkan nilai determinannya. Misalnya, kita pilih baris ke-1. Elemen-elemen matriks baris ke-1, yaitu a11, a12, dan a13.

determinan

Selanjutnya, karena kita pilih elemen-elemen pada baris ke-1, rumus determinan matriks yang kita gunakan adalah sebagai berikut:

determinan

Langkah kedua, kita cari kofaktor matriks bagian dari matriks A (Cij). Cij = (-1)i+j Mij dan Mij = det Aij dengan Aij merupakan matriks bagian dari matriks A yang diperoleh dengan menghilangkan baris ke-i dan kolom ke-j. Maksudnya bagaimana? Oke, coba kamu perhatikan baik-baik ya.

Sebelumnya, kita telah memilih elemen-elemen pada baris ke-1, yaitu a11, a12, dan a13. Oleh karena itu, matriks bagian dari matriks A nya adalah A11, A12, dan A13.

  • A11 diperoleh dengan menghilangkan elemen-elemen pada baris ke-1 dan kolom ke-1.
determinan
  • A12 diperoleh dengan menghilangkan elemen-elemen pada baris ke-1 dan kolom ke-2.
determinan
  • A13 diperoleh dengan menghilangkan elemen-elemen pada baris ke-1 dan kolom ke-3.
determinan

Sehingga,

determinan

Kalau kamu perhatikan, nilai determinan matriks A yang dihasilkan menggunakan dua metode di atas akan sama aja ya. Jadi, kamu tinggal pilih nih, mana metode yang menurutmu paling mudah. Tapi, meskipun begitu, ada baiknya kamu juga pahami kedua-duanya. Kenapa? Siapa tau di ujian nanti keluar dua-duanya, loh.