Determinan Matriks dan Metode Penyelesaiannya

Apa Itu Determinan Matriks?

Di materi matriks, elo bakal ketemu sama yang namanya invers matriks. Tapi, sebelum ke situ, elo harus tau dulu apa itu determinan matriks.

Kenapa sih kok perlu membahas ini dulu? Karena, determinan ini yang akan elo gunakan dalam menentukan invers matriks.

Jadi, yang dimaksud determinan matriks adalah nilai yang diperoleh dari matriks persegi. Si determinan ini adalah fungsi yang akan memetakan matriks persegi ke bilangan real. Nilai determinan disimbolkan dengan “|…|”, misalnya matriks A, nilai determinannya menjadi det A=|A|.

Nah, tadi udah gue sebutkan kalau determinan ini diartikan sebagai nilai yang mewakili matriks persegi ーartinya selain matriks persegi, nggak bisa dicari determinannya.

Kita tau kalau matriks persegi itu ada yang berordo 2×2 dan 3×3. Cara mencarinya nggak sama alias berbeda. Kita bahas satu per satu, ya.

Rumus Determinan Matriks 2×2

Untuk matriks berordo 2×2 (terdiri dari dua baris dan dua kolom), nilai determinannya bisa dicari seperti berikut ini.

Yap, caranya adalah dengan mengalikan elemen-elemen yang ada di diagonal utama, lalu kurangkan dengan elemen-elemen di diagonal sekunder.

Supaya lebih mudah, langsung kita lihat contoh soal determinan matriks di bawah ini. Coba elo perhatikan baik-baik ya.

Udah makin kebayang kan kalau angkanya dicemplungin? Coba deh elo kerjain soal di bawah ini buat latihan.

Rumus Determinan Matriks 3×3 Metode Sarrus

Kalau caranya beda sama yang matriks 2×2, lalu gimana cara mengerjakan metode berordo 3×3? Oke, kita langsung bahas caranya ya. Jadi, untuk mencari yang 3×3, elo bisa menggunakan beberapa metode, seperti Metode Sarrus dan Minor-Kofaktor.

Pertama, kita bakal bahas Metode Sarrus. Metode ini hanya bisa digunakan pada matriks 3×3, jadi selain itu gak bisa pakai metode yang satu ini ya.

Misalnya, ada matriks A berordo 3×3 sebagai berikut:

Berapakah determinan matriks A? Berikut uraian caranya:

1. Langkah pertama, tulis lagi elemen-elemen pada kolom ke-1 dan ke-2 di sebelah kanan matriks A.
2. Lalu, kalikan elemen-elemen matriks tersebut sesuai pola (perhatikan pola warna dan tandanya).

det(A) = a₁₁.a₂₂.a₃₃ + a₁₂.a₂₃.a₃₁ + a₁₃.a₂₁.a₃₂ – a₁₃.a₂₂.a₃₁ – a₁₁.a₂₃.a₃₂ – a₁₂.a₂₁.a₃₃

Supaya makin kebayang, kita langsung cemplungin angka-angkanya, yuk!

det(A) = 1.1.2 + 2.4.3 + 3.2.1 – 3.1.3 – 1.4.1 – 2.2.2 = 2 + 24 + 6 – 9 – 4 – 8 = 11

Jadi, determinan matriks A adalah 11.

Udah paham ya? Supaya makin paham, coba elo kerjain latihan soal di bawah ini:

Rumus Determinan Matriks 3×3 Minor Kofaktor

Metode Sarrus udah paham lah yaa? Ternyata masih ada metode lain untuk menentukan rumus determinan matriks 3×3 lho, yaitu Metode Minor-Kofaktor.

Coba elo perhatikan konsep dari determinan yang satu ini.

Dari matriks A di atas, kita buang elemen A_ij, maksudnya adalah matriks A elemen ke ij. Misal, kita mau pilih A₁₂, berarti kita harus buang baris ke-1 dan kolom ke-2.

Elo bisa perhatikan gambar di bawah ini.

Dari gambar di atas, ada yang namanya minor dan kofaktor. Minor (M) adalah determinan dari matriks yang beberapa elemennya udah dibuang. Sedangkan, kofaktor (C atau K) memiliki rumus min 1 pangkat elemen i + j dikalikan dengan minornya >> (-1)^i+jM_ij.

Oh iya, nyambung lagi ke materi di atas, supaya makin paham, kita langsung cemplung angka-angkanya ya.

det(A) = 1(-2) – 2(-8) + 3(-1) = -2 + 16 -3 = 11

Jadi, determinan dari matriks A adalah 11.

Sifat-sifat Determinan Matriks

Jangan salah, determinan juga punya karakter atau sifat-sifat lho.

Nih, misalkan A dan B adalah matriks berordo nxn. Kita bisa rangkum sifatnya sebagai berikut.

1. |AB| = |A| |B|
2. |A^T| = |A|, T: transpose matriks
3. |kA| = kⁿ|A|, k: bilangan skalar/riil dan n: ordo matriks A
4. |A^-1| = 1/|A| (invers matriks)
5. Baris atau kolom yang semua elemennya bernilai nol, maka determinan matriksnya = 0
6. Dua baris atau kolom yang elemennya sama/kelipatannya, maka determinan matriksnya = 0