Distribusi Binomial & Bernoulli – Materi Matematika Kelas 12

Apa Itu Distribusi Bernoulli?

Lo pasti udah gak asing dengan nama Bernoulli. Yap, percobaan Bernoulli berasal dari ahli matematika asal Swiss bernama Jacob Bernoulli pada abad ke-17. Pengertian distribusi Bernoulli yaitu distribusi yang bersumber dari percobaan Bernoulli. Nah, apa itu percobaan Bernoulli?

“Percobaan Bernoulli merupakan percobaan acak yang hanya memiliki dua keluaran di mana dua keluaran tersebut gak bisa terjadi secara bersama-sama dan total peluang dari dua keluaran tersebut adalah satu”

Contohnya antara sukses dan gagal. Kalau lo sukses, berarti lo gak gagal. Kalau lo gagal, berarti lo belum sukses. Kebayang kan ya sampai sini? Contoh lainnya ketika lo melempar koin. Kemungkinan kemunculannya itu hanya satu, kalau bukan angka berarti gambar.

contoh percobaan bernoulli zenius education
Contoh percobaan Bernoulli (Dok. Pixabay/Ramdlon)

Jadi, P(sukses) + P(gagal) = 1 atau P(gagal) = 1 – P(sukses). Sama halnya dengan koin, P(angka) + P(gambar) = 1. Nah, itu adalah percobaan Bernoulli. Lalu, bagaimana dengan distribusi Bernoulli?

Tadi kita udah tahu kalau P(gagal) = 1 – P(sukses). Kita sebut saja P(sukses) sebagai p, maka P(gagal) = 1 – p. Nah, distribusi atau sebaran Bernoulli bisa kita tulis sebagai berikut:

f(x) = p, ketika x = 1

f(x) = 1 – p, ketika x = 0

Sebaran di atas bisa kita sederhanakan menjadi distribusi Bernoulli:

distribusi bernoulli zenius

Coba deh kita hitung untuk membuktikannya:

  • f(0) = p(1-p)1-0 = 1 – p
  • f(1) = p1(1-p)1-1 = p

Terbukti kan kalau sebaran tersebut sesuai dengan peluang gagal dan sukses yang telah kita uraikan sebelumnya.

Contoh Soal Distribusi Bernoulli

Setelah lo tahu definisi dari sebaran Bernoulli, lo perlu latihan soal juga nih supaya pemahaman lo terhadap materi ini semakin oke. Siapkan alat tulis dulu, yuk! Kalau sudah, mari kita meluncur ke contoh soal berikut ini!

Guru matematika Ica memberikan 1 soal bonus. Peluang Ica dapat menjawab soal bonus dengan benar adalah p. Sedangkan, peluang Ica gagal dalam menjawab soal bonus adalah ….

Jawab:

Hayoo … masih ingat kan mengenai sebaran Bernoulli di atas?

f(x) = p, ketika x = 1

f(x) = 1 – p, ketika x = 0

Jadi, peluang Ica gagal dalam menjawab soal bonus adalah 1 – p.

Apa Itu Distribusi Binomial?

“Coba lo bayangkan sedang melempar sebuah koin sebanyak sepuluh kali. Kemudian, sisi gambar muncul beberapa kali selama pelemparan tersebut. Setelah itu, lo bayangkan melempar sebuah dadu sebanyak sepuluh kali”

Dari instruksi di atas, kira-kira manakah yang termasuk dalam percobaan Binomial? Lho, percobaan Binomial itu apa sih? Kita coba pelajari syarat kejadian Binomial terlebih dahulu sebelum mendefinisikannya, ya.

Syarat Kejadian Binomial, yaitu:

  1. Terdapat n kali percobaan.
  2. Setiap percobaan hanya memiliki dua kemungkinan, seperti Ya – Tidak atau Sukses – Gagal.
  3. Peluang suatu percobaan harus sama, tidak berubah untuk setiap percobaan.
  4. Percobaannya bersifat independen yang berarti peristiwa dari suatu percobaan tidak memengaruhi peristiwa percobaan lainnya.
distribusi binomial zenius
Percobaan melempar koin berkali-kali termasuk distribusi Binomial

Kita balik lagi ke instruksi di atas, kemudian cocokkan dengan syarat kejadian Binomial. Pada percobaan melempar koin sebanyak 10x, berarti ada n percobaan sebanyak 10 (n=10), artinya syarat pertama cocok. Kemudian, ada dua kemungkinan muncul pada koin tersebut, yaitu Angka – Gambar, berarti syarat kedua cocok. Lanjut lagi, peluang percobaan untuk memunculkan angka atau gambar sama, yaitu 50:50 atau ½, artinya syarat ketiga cocok. Terakhir, percobaan melempar koin gak mempengaruhi satu sama lain, kalau angka yang keluar, berarti peluang kemunculannya tetap ½, jadi gak mempengaruhi peluang munculnya gambar.

Dengan begitu, percobaan melemparkan koin termasuk dalam percobaan Binomial.

Instruksi yang ke-2, yaitu percobaan melempar dadu sebanyak 10 kali. Nah, syarat pertama cocok nih. Gimana dengan syarat selanjutnya? Setiap pelemparan dadu, maka peluang munculnya mata dadu 1, 2, 3, 4, 5, dan 6 adalah ⅙. Masing-masing peluang tersebut gak saling mempengaruhi peluang kemunculan mata dadu lainnya.

Tapi, coba deh lo perhatikan kalau peluang muncul mata dadu itu ada enam kemungkinan, bukan dua kemungkinan. Sehingga, syarat kedua gak cocok. Dengan begitu, percobaan melempar dadu bukan termasuk percobaan Binomial. Karena, ketika satu syarat tidak terpenuhi, maka percobaan tersebut sudah bukan termasuk percobaan Binomial.

Barusan kita ngomongin tentang percobaan Binomial. Lalu, bagaimana dengan distribusi Binomial? Coba lo tengok lagi tentang distribusi Bernoulli di atas. Lho, memang apa hubungannya? Apa bedanya distribusi Bernoulli dan distribusi Binomial? Jawabannya sama, bedanya yaitu percobaan Binomial merupakan percobaan Bernoulli yang dilakukan berulang-ulang sebanyak n kali.

Sehingga, bisa kita peroleh distribusi Binomialnya, sebagai berikut:

x = 0, 1, 2, 3, 4, … , n

Kita coba masuk ke contoh soal distribusi Binomial untuk membuktikan rumus distribusinya:

Percobaan melempar koin sebanyak tiga kali.

Ruang sampel (A: Angka, G: Gambar): {AAA, AAG, AGA, GAA, GGA, GAG, AGG, GGG}.

x = banyak munculnya angka

x = {0, 1, 2, 3}

P(sukses) = P(angka) = P

P(gagal) = P(gambar) = 1-p

  • P(x=0) = (1-p)(1-p)(1-p) = (1-p)3
  • P(x=1) = 3 x P(1-p)2
  • P(x=3) = P x P x P = P3

Kita udah mulai tahu nih polanya, sehingga distribusi Binomial adalah sebagai berikut:

distribusi binomial adalah

Ada kombinasi matematika pada sebaran Binomial. Jadi, lo perlu mereview lagi materi faktorial di Kelas 10 ya.